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2015年公務(wù)員考試行測(cè)指導(dǎo):數(shù)學(xué)運(yùn)算之剩余問題
http://glamoredanceentertainment.com       2014-11-17      來源:山東公務(wù)員考試網(wǎng)
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  在公務(wù)員行測(cè)考試中整除的問題經(jīng)常出現(xiàn),而在整除的基礎(chǔ)上又衍生出不能整除的問題,即有余數(shù)的問題也不斷的出現(xiàn),下面山東公務(wù)員考試網(wǎng)將介紹特殊的剩余問題,即余同問題、和同問題以及差同問題。


  一、剩余定理的特殊情況


 ?。?)余同(余數(shù)相同):除數(shù)的最小公倍數(shù)+余數(shù)


  例題1:三位數(shù)的自然數(shù)P滿足:除以4余2,除以5余2,除以6余2,則符合條件的自然數(shù)P有多少個(gè)?


  A.120 B.122 C.121 D.123


  【答案】B。


  【解析】一個(gè)數(shù)除以4、5、6均余2,余數(shù)相同,屬于余同,因此這個(gè)數(shù)滿足通項(xiàng)公式N=60n+2 ,(n=0,1,2,3……),當(dāng)n=2時(shí),N=122,選擇B項(xiàng)。


 ?。?)和同(除數(shù)和余數(shù)的和相同):除數(shù)的最小公倍數(shù)+和(除數(shù)加余數(shù)的和)


  例題2:三位數(shù)的自然數(shù)P滿足:除以5余3,除以6余2,除以7余1,則符合條件的自然數(shù)P有多少個(gè)?


  A.3 B.2 C.4 D.5


  【答案】D。


  【解析】此題除數(shù)與余數(shù)的和相加均為8,則該自然數(shù)應(yīng)滿足N=210n+8(n=0,1,2……),因此在0至999以內(nèi)滿足題干條件的自然數(shù)有8,218,428,638,848五個(gè)數(shù),因此選D。


 ?。?)差同(除數(shù)減余數(shù)之差相同):除數(shù)的最小公倍數(shù)-差(除數(shù)減余數(shù)的和)


  例題3:某校三年級(jí)同學(xué),每5人一排多1人,每6人一排多2人,每7人一排3多人,問這個(gè)年級(jí)至少有多少人?


  A.206 B.202 C.237 D.302


  【答案】A。


  【解析】


  方法一:代入排除法(略)。


  方法二:通過觀察發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的差均為4,所以此數(shù)滿足:N=210n-4(n=1,2,3……),當(dāng)n=1時(shí),算得次數(shù)為206,因此選A。


  二、剩余定理的一般情況


  例題4:一個(gè)自然數(shù)P同時(shí)滿足除以3余1,除以4余3,除以7余4,求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個(gè)?


  A.10 B.11 C.12 D.13


  【答案】B。


  【解析】先取其中兩個(gè)條件,除以3余1,除以4余3,即P=4n+3=3a+1,等式兩邊同時(shí)除以3,等式左邊的余數(shù)為n,等式右邊的余數(shù)為1,即n=1,代入上式可知滿足上述兩個(gè)條件的最小的數(shù)為7,則同時(shí)滿足上述兩條件的數(shù)的通項(xiàng)公式為P=12n+7……①,再將①式所得的條件與題干中除以7余4的條件組合成新的條件。即滿足題干中三個(gè)條件的數(shù)P=12n+7=7b+4,等式兩邊同時(shí)除以未知數(shù)較小的系數(shù)7,則左邊余數(shù)為5n,等式右邊的余數(shù)是4,也可認(rèn)為余數(shù)是25,即5n=25,求解得n=5,代入到①式中,即同時(shí)滿足題干中三個(gè)條件的最小的自然數(shù)P=67,則滿足題干三個(gè)條件的數(shù)的通項(xiàng)公式為P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11,即符合題意的數(shù)共有11-1+1=11個(gè)數(shù)。


  例題5:一個(gè)自然數(shù)P同時(shí)滿足除以11余5,除以7余1,除以5余2,求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個(gè)?


  A.9 B.10 C.11 D.12


  【答案】D。


  【解析】通過觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)條件屬于差同,所以滿足前兩個(gè)條件的數(shù)的通項(xiàng)公式P=77n-6(n=0,1,2,3……),即100≦77n-6≦999可求得2≦n≦13,即符合題意的數(shù)共有13-2+1=12個(gè)數(shù),因此選D。


  從上面的例題中我們可以總結(jié)出以下關(guān)系:


  如果一個(gè)數(shù)Q除以m余數(shù)是a,除以n余數(shù)是a,除以t余數(shù)是a,那么這個(gè)數(shù)Q可以表示為:


  Q=a+(m、n、t的最小公倍數(shù))      N,N為整數(shù),a是相同的余數(shù)。


  如果一個(gè)數(shù)Q除以m余數(shù)是a-m,除以n余數(shù)是a-n,除以t余數(shù)是a-t,那么這個(gè)數(shù)Q可以表示為:


  Q=a+(m、n、t的最小公倍數(shù))      N,N為整數(shù),a是除數(shù)同余數(shù)的加和。


  如果一個(gè)數(shù)Q除以m余數(shù)是m-a,除以n余數(shù)是n-a,除以t余數(shù)是t-a,那么這個(gè)數(shù)Q可以表示為:


  Q=(m、n、t的最小公倍數(shù))-a      N-a,N為整數(shù),a為相同的除數(shù)和余數(shù)的差。


  不管題目怎么變化,只要記住這3個(gè)關(guān)系,在考試中的剩余問題都是可以迎刃而解的。

 

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